一、数学方面的能力该怎么培养 知乎

一、认清你的需要

为什么需要学习数学，这是你首先需要想清楚的问题。数学学科子分类多、每一本数学书中都有许多定理和结论，需要花大量时间研究。而人的时间是宝贵的、有限的，所以你需要大体有一个目标和计划，合理安排时间。

1.1你的目标是精通数学、钻研数学，以数学谋生，你可能立志掌握代数几何，或者想精通前沿物理。那么你需要打下坚实的现代代数、几何以及分析基础，你需要准备大量时间和精力，拥有坚定不移的决心。（要求：精通全部三级高等数学）

1.2你的目标是能够熟练运用高等数学，解决问题，掌握探索新应用领域的武器，你可能立志进入计算机视觉领域、经济学领域或数据挖掘领域。那么，你需要打下坚实的矩阵论、微积分以及概率统计基础。（要求：精通第一级高等数学）

1.3你的目标是想了解数学的乐趣，把学数学作为人生一大业余爱好。那么，你需要打下坚实的线性代数、数学分析、拓扑学以及概率统计基础，对你来说，体会学数学的乐趣是一个更重要的目标。（精通第一级高等数学，在第二级高等数学中畅游，尝试接触第三级高等数学）

二、给自己足够的动力

学数学需要智力，更需要时间和精力。下面的几个事实相大家都深有体会：

1.凡是没有用的东西，或者虽然有用，但是你用不到的东西，学得快忘得也快。不信你回忆一下你大一或者初一的基础课，你还记的清楚吗？

2.凡是你不感兴趣（或者感觉不到乐趣）的东西，你很难坚持完成它。很多人都有这样的经历，一本书，前三章看的很仔细，后面就囫囵吞枣，越看越快，反正既没意思也没用。

3.小学数学是中学数学的基础，中学数学是高中数学的基础，高中数学是大学数学的基础（你可以以此类推）。

因此，无论你的目标是什么，搞数学、用数学、还是体会数学的乐趣、满足自己从少年时就有的梦想。学有所乐、学有所用，永远是维持你动力不衰退的两个最主要的因素。

三、高等数学学什么？

好了，来看看标准大学数学的科技树：

一级：

线性代数（矩阵论），数学分析，近世代数（群环域），分别囊括了了几何、分析和代数的基础理论。别忘了还有概率论（建立在分析之上的一门基础学科）。

二级：

有了这些基础，接着是基础的基础、抽象和推广：测度论（积分的基础，当然也是概率论的基础），拓扑学（有关集合、空间、几何的一门极度重要的基础学科），泛函分析（线性代数的推广），复变函数（分析的推广），常微分方程与偏微分方程（分析的推广），数理统计和随机过程（概率论的推广），微分几何（分析和几何的结合）。

然后是一些小清新和应用学科：数值分析（算法），密码学，图形学，信息论，时间序列，图论等等。

三级：

再往上是研究生课题，往往是代数、几何和分析要一起上：微分流形、代数几何、随机动力学等等。

这个科技树的三级，和小学、初中、高中数学很相似，一层学不精通，下一层看天书。

四、如何学习

4.1适量做题

千万千万千万不要狂做题。玩过战略对抗游戏的同学都知道，低级兵造几个就行了，要攒钱出高级兵才能在后期取胜，低级兵不仅攻击力低，还没有好玩的魔法，它们存在的意义在于让你有能力熬到后期。上面列举了那么多课程，你先花5年做完吉米诺维奇六本数学分析习题集，你就30岁了，后面的二级课程还没开始学呢。因此，做一些课后习题，帮助你复习、思考、维持大脑运转就行，要不断地向后学。如果完全学不懂了，返回来做习题帮自己理清头绪。

4.2了解思想

数学的精髓不是做题的数量，而是掌握思想。每一个数学分支都有自己的主线思想和方法论，不同分支也有相互可供对比和借鉴的思维方式。留意它，模仿它，琐碎的知识就串成了一条项链，你也就掌握了一门课。思想并不是读一本教材就能轻易了解的，你要读好几本书，了解一些应用才能体会。举两个例子：

微积分的主线有这么几条：认识到微观和宏观是有联系的，微分用来刻画事物如何变化，它把细节放大给你看，而积分用来刻画事物的整体性质；微分和积分有时是描述一个现象的不同方式，这一点你在数学分析书中可能不容易发现，但是如果学点物理，就会发现麦克斯韦方程组同时有等价的微分形式和积分形式；积分变换能够建立不同空间之间的的联系，建立空间和空间边界的联系，这就是Stokes定理：，这个公式最迟要在微分流形中你才能一窥全貌。

矩阵是空间中线性变换的抽象，线性代数这门课的全部意义在于研究如何表达、化简、分类空间线性变换算子；SVD分解不仅在应用学科用有极为广泛的亮相，也是你理解矩阵的有力工具；矩阵是有限维空间上的线性算子，对"空间"的理解不仅能让你重新认识矩阵，更为泛函分析的学习开了个好头。

4.3渐进式迂回式学习，对比学习

很多时候，只读一本书，可能由于作者在某处思维跳跃了一下，以后你就再也跟不上了。学习数学的一个诀窍，就是你同时拿到好几本国际知名教材，相互对比着看，或者看完一本然后再看同一主题的另一本书，已经熟悉的内容跳过去，如果看不懂了，停下来思考或者做做习题，还是不懂则往后退一退，从能看懂的部分向前推进，当你看的多了，就会发现一个东西出现在很多地方，对它的理解就加深了。举两个例子：

外微分这个东西，国内有的数学分析书里可能不介绍，我第一次遇到是在彭家贵的《微分几何》里，觉得这是个方便巧妙的工具；后来读卓里奇的《数学分析》和Rudin的《数学分析原理》，都讲了这个东西，可见在西方外微分是一个基础知识。你要读懂它，可能要首先理解矩阵，明白行列式恰好是空间体积在矩阵的变换下拉伸的倍数，它是一种线性形式。最后，当你读微分流形后，将发现外微分是获得流形上的Stokes定理的工具。

点集拓扑学这个东西，搞应用用不到。但是但凡你想往深处学，这一门学科就必须要掌握，因为它提供对诸如开集、紧集、连续、完备等数学基本概念的精准刻画。往后学泛函分析、微分流形，没有这些概念你将寸步难行。首先你要读芒克里斯的旷世名著《拓扑学》，接着在读其他外国人写的书时，或多或少都会接触一些相关概念，你的理解就加深了，比如读Rudin的《泛函分析》，开始就是介绍线性拓扑空间，前面的知识你就能用上了。

4.4建立不同学科的联系

看到一个东西在很多地方用，你对它的理解就加深了，慢慢也就能体会到这个东西的精妙，最后你会发现所有的基础学科相互交织，又在后续应用中相互帮助，切实体会到它们真的很基础，很有用。这是一种体会数学乐趣的途径。

4.5关注应用学科

没有什么比应用更能激发你对新知识、新工具的渴望。找一些感兴趣的应用学科教材，读一读，开阔眼界，为自己的未来积累资源。以下结合自己的专业（计算机视觉）和爱好说说一些优秀的专业书籍：

学了微积分，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》，了解力、热、光、时空的奥秘；学了偏微分方程，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第二卷》，了解电的奥秘；学了矩阵论，可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》，了解成像的奥秘，编程进行图像序列的三维重建；学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派，这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域，成就了两本经典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》，读了它们，我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服；读了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己写了一个光线追踪器渲染真实场景，它的基础就是一点点微积分和矩阵......

高等数学的应用实在是太多了，如果你喜欢编程，自动化、机器人、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学......到处都有大量模型供你玩耍，而且只需要一点点高等数学。在这些领域，你可能能发现比数学书更有趣，也更容易找到工作的目标。

4.6找有趣的书看

数学家写的书有时是比较死板的，但是总有一些教材，它们的作者有强烈的欲望想向你展示"这个东西其实很有趣"，"这个东西完全不是你想的那个样子"等等，他们成功了；还有些作者，他们喜欢把一个东西在不同领域的应用，和不同东西在某一领域的应用集中展示给你看。这样的书会提供给你充足的乐趣读下去。典型代表就是国内出版的一套《图灵数学统计学丛书》，这一套书实在是太棒了，比如《线性代数应该这样学》《复分析：可视化方法》《微分方程、动力系统与混沌导论》，个人认为都是学数学必读的经典教材，非常非常有趣。

五、多读书，读好书

如果只有一句话概括如何培养数学能力，那么就是这一句：多读书，读好书。因此这一步我想单独拿出来多说两句。

想必大家都十分精通并能熟练应用小学数学。想读懂代数几何，或者退一步，想读懂信息论基础，你就要挑几本好的基础教材，最好是外国人写的，像掌握小学数学那样掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的书，对比着看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，记下来，说不定在另一本书的某个地方就从另一个角度说到了这个东西。

如果你以后还要往后学，现在看到的每一个基础定理，以后还会用到。

每一本基础书，你今天放弃，明天还要乖乖重头再来。

要像读经文一样，交叉阅读对比不同教材内容的异同。

5.1.推荐教材（其实就是我读过的觉得好的书）：

第一级：

《线性代数应该这样学》

卓里奇《数学分析（两册）》（读英文版吧，不难。有知友说这个还是不太简单，那你可以先看个国内教材，然后回过头来再看这个）

复旦大学《概率论》

第二级：

芒克里斯《拓扑学》

图灵丛书的一些分册

柯斯特利金《代数学引论》

Vapnik《统计学习理论的本质》

Rudin《数学分析原理》

Rudin《泛函分析》

Gamelin《复分析》

彭家贵《微分几何》

Cover《信息论基础》

第三级：

《微分流行与黎曼几何》

《现代几何学，方法与应用》三卷

5.2.阅读一些科普教材

《数学是什么》

《高观点下的初等数学》

《巴赫、埃舍尔、哥德尔》

《e的故事》

5.3.阅读各个领域最有趣、最活泼、最让你长知识、最重视应用、文笔最易懂的教材和书籍

《费恩曼物理学讲义》三册

《混沌与分形：科学的新疆界》

《微分方程、动力系统与混沌导论》

《复分析：可视化方法》

最后想说，数学是一个无底洞，会消耗掉你宝贵的青春。一无所知的你可能励志搞懂现代数学，但是多会半途却步，同时剩下的时间又不够精通另一门科学。而且即使你精通纯数学，没有几篇好文章也并不容易找工作。

我的建议是在阅读数学的过程中开拓眼界，纯数学和应用数学学科都看看，找到感兴趣、应用广泛、工作好找（来钱）的方向再一猛扎下去成为你的事业。比如数学扎实，编程能力也强的人就很有前途。

作者：王小龙

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二、你认为暑假应该限制未成年人玩游戏吗

暑假期间必须限制未成年人玩游戏。这个各种游戏。真是害人不浅。害了多少未成年人。那是可想而知的。

这些游戏五花八门。未成年的小孩子玩起来特别的上瘾。以至于严重影响孩子的学习。一旦上瘾以后。其他的事情他都不想做了。就在那里玩游戏。甚至现在有很多成年人。都迷恋那些游戏。只要一有时间。就开始玩游戏。经常包夜的玩游戏。以至于身心健康受到了很大的摧残。这些年经过国家的治理。虽然好了很多，但是仍然有一些不良商家。向未成年人提供游戏场所。必须严厉的打击和禁止。

由于未成年人，他的思想和认知上。有很多。是他自己无法左右的。况且这些游戏当中有很多都是有暴力倾向的。导致小孩子们。都在学习。现在很多学校的霸凌情况。和这些游戏有着密切的关系。小孩子们很多动作或者事情。还有些语言。都来自于游戏。在各种媒体上经常报道，一些。小孩子由于玩游戏。而导致的布鞋。严重的家长不给钱玩游戏。甚至和家长动刀。出去偷钱等等。对未成年人的伤害，真的是太大了。

我们家就这样的亲身经历。表哥家的孩子。刚上学的时候。还是很好的。脑子也很聪明。老师经常表扬。初三的时候。因为学习一直比较好。家长给了一些奖励的钱。和同学们不知道什么时候就误入了网吧。开始玩游戏。一个假期游戏就上瘾了。初四开学的时候基本上就不学习了。每天都出去找时间偷偷摸摸的打游戏。最后变得逃课。想尽各种办法管家长要钱。不给钱就开始闹。学习成绩开始下跌。考高中的时候，勉强的考上了。当地一个比较好的高中。但是高中以后。他这个。游戏瘾仍然戒不掉。以至于休学。专门治疗一年。但是效果仍然不好。勉强考上了一本的大学。这个期间仍然。不忘玩游戏。现在这孩子的状态。就和酒鬼差不多。必须定期给它玩一下游戏。不玩就犯病。整体神智恍惚。游戏是彻底害了这孩子。学校的老师都说这个孩子。真是让人给害惨了否则的话是一个很好的学习苗子。

因此。国家出台的各种政策限制未成年人玩游戏，这个是很有必要的。必须坚持下来。作为孩子的家长。也要有一个完全的限制，绝对不能让孩子利用各种时间玩游戏，否则就会彻底害了这个孩子。

三、如何追女生知乎

.无欲则刚心态为王

记住一句话：“追女生”只不过是给彼此制造一个互相认识的机会。

我经常收到很多人私信我这样一个问题：“该如何追求一个女生”，并且在我交流中发现绝大部分人对于“追求”这个词存在着深深地误解。

认为“追求”就是拼命对一个人好，然后感动女生，让女生没有理由不和你在一起。

这样的心态就很容易出现两种问题：

①“持续感动一个人”这需要巨大的财力和精力，一旦后期你做的不到位了，那么就很容易让女生觉得“你变了”。

②低姿态的追求模式，往往得不到你想要的结果，甚至你越是得不到，就越容易变得卑微和跪舔。

追女生正确的方式是什么呢？

其实很简单，是你们加了微信之后，简单地聊两句，而非一上来就告诉人家“我相中你了”。你的朋友圈能够展示出自己的生活，让女生大致对你有个良好的初始印象：你是做什么工作的、你有什么兴趣爱好、你这个人有没有眼缘......

至于聊天，其实就是一个信息交换和价值输出的媒介。其实就是给彼此创造一个互相了解的机会，你是一个什么样的人、有着怎样的生活态度，以及你身上有哪些可造成吸引的点。

因此追求女生，说白了，就是让这个女生对你产生好奇，通过吸引点让她喜欢上你。

讲真，你有那闲工夫花几个月跪舔一个女生，还不如发一两条有趣的朋友圈，让她走进你的生活。

话说我之前哪里懂这些东西，也是在学习恋爱知识的时候看了航宇老师的撩妹秘籍，从那里才开始真正悟到了原来撩妹真心是个技术活，有很多的技巧和方法需要掌握。之后就是按照他的理念所学的直接实战，基本都是聊天时候就拿下了，见面约会都是直奔主题，现在也是工作忙没时间约了。对于还没有脱单的兄弟可以去学下，徽心搜公众号宇哥教你谈恋爱就可以找到的，妹子永远喜欢的是会撩妹的，而不是直男癌。

2.套路无用真诚致胜

我看到过很多所谓追女生的技巧，像是什么欲擒故纵、忽冷忽热，几乎霸占了各大泡学的榜单。

说实话，女生们真不傻，那些小伎俩她们愿不愿意戳穿，全凭人家愿不愿意陪你逢场作戏罢了。

一些所谓的套路，就很容易给男生造成两种误区：

①太过老油条，张口就套路，闭口就是土味情话。

②太过虚伪，反倒让女生觉得你不真诚，可能是个一撩即走的渣男

有些男生现在不知道在哪里学的，在追求女生之前背了一堆的套路，之后就感觉自己的是情话大师了，能够所向披靡了。

拜托，女生只会对长相极帅的男生说土味情话来电，而如果是一个相貌平平的你说，轻则无感，重则反胃。

当你说土味情话时，女生不是感动，是感到莫名其妙，会觉得“这个男生好土呀，追求一个女生的手段都是网上学得土味情话，你真的挺无趣、挺庸俗的。”

现在追求女生用土味情话，无疑当年写情书抄歌词。

一没诚意，二没魅力。拿什么敲开女生的心门？

吸引女生最好的方式，就试着让自己的闪光点对她造成吸引。

你会弹一手好琴，就不妨借机会说一句“我一会儿录个demo给你听”；

你热爱生活、阅历丰富，就不妨无意间说一句“我最近剪了个vlog，你给我提提意见呗~”

再不济，你就是家庭条件好，那也可以说一句“今天可真是倒霉透了，又是这个人占了我的车位”.......

3.无色不起意

讲句实话，在爱情中无论是男生还是女生，85%都是由『见色起意』开始的。

人其实都是一个视觉动物。也就是说，女生见到你的第一眼开始，那么就已经根据你的外在形象对你归类，大致分为陌生人、普通朋友、还是可发展为男朋友的选项。

但是女生对于一个男生的观感，并不是仅仅地建立在天生的颜值上，更多地是考量男生后天形象的自我把控。

要明白一个道理，女生可以不喜欢一个帅气的男生，但是她绝对接受不了一个邋遢和不检点的男生。你可以不帅，但是一定要做到干净和整洁。

提升自己的衣品、培养自己的审美态度、合理化的自我包装，这些都是让女生对你产生性冲动的入场券。

别问我这个世界上有没有“不看脸”的爱情，毕竟现在这个社会，没有人有义务透过一个邋遢的外表，去探究所谓有趣的灵魂，这更何况是爱情。

4.三分暧昧七分神秘

在吸引女生的过程中，为什么你追着追着就成了舔狗？

很真实地来讲，当一个女生对你仅仅3分的好感，但你却拿出了8分的热情去追求，那么这之间的落差就足以形成“跪舔关系”。

三分暧昧、七分神秘，这是吸引女生最好的姿态。

喜欢一个女生，不代表你要二十小时找她聊天，去信息轰炸女生。有时即使女生回复的很热情，不是她真的喜欢你，而是她最近也无事可做。

有事情去做，有理想去追求的男人，往往才更能获得女生青睐。不要总找一个女生聊天，热情反馈高，就多聊一点，聊到嗨点就展露价值离场。

没在一起之前，就不要把所有的话都说尽了，要给自己留一些神秘感的空间。让女生主动地去探索你生活，这远远要比你全盘脱出更要有效果。

就像是一本好看的书，倘若你在图书馆就看完了，倘若你只是觉得“这本书还好、但谈不上那么喜欢”，那你还会花钱把它买回家么？

5.切勿错过窗口期

一般地来说，人的情绪变化周期是28天，这也就意味着一般人对于暧昧的维持程度，也不会超过这个区间。

那么一个人暧昧峰值的『窗口期』的到来也是有迹可循的，一般伴随以下特征产生：

①出现暧昧昵称

②不排斥与你约会

③聊天主动热情，朋友圈互动频繁

④彼此社交圈发生重叠

⑤她对你的热情是唯一性

⑥存在着“准情侣”的肢体接触

⑦允许你进入她的私密空间（卧室、手机等等）

要记住：当以上七条信号已经发生了四条以上，那么务必抓住机会升级关系。否则错过了窗口期，你的身份多半就会被定型为“男闺蜜”了。

6.陌生环境是爱情的催化剂

人在陌生的环境里，总会情不自禁地抓住自己熟悉的事物，在爱情中也是如此。

追求一个女生，你要带领她去接触一些从未体验过的新鲜事物。

带她去一些陌生的环境，去体验一些她未尝过的经历，在陌生的环境中，时间会过得很慢、人也更加容易产生心动的感觉。同时二人世界的陌生感，会极大凸显出你的可依赖程度，这些美好的瞬间，都可能成为打开她心房的钥匙。

7.细节决定成败

让女生心动的瞬间，一定不是你追求她时表现得有多么热烈，而是在细微之处体现出你的关怀。

过马路的时候，牵起她的胳膊、让她走在马路内侧；

晚上迎面来了一个开远光灯的车，下意识地帮她挡光；

下意识地接过她手里的东西，帮她拿着没有喝完的奶茶；

默默地记住她喜欢吃什么、不喜欢吃什么；

二人世界多去叫她的昵称，让她找到自己的归属感；

不追求约会长度，当她有些疲惫了就及时送她回家，并贴心地安排好下一次行程；

随身带一个皮筋，在女生吃饭的时候淡定的给她......诸如此类

要知道，女生都是细节控，当你能从细节征服一个女生，那么离你们确立关系也就八九不离十了。