一、小学数学如何进行变式教学

变式其实就是创新。当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。

一、在形成数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。

从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。

通过对式子的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止教师盲目出题，学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。

二、在理解定理和公式的过程中，利用变式使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而培养学生多向变通的思维能力。

数学思维的发展，还赖于掌握、应用定理和公式，去进行推理、论证和演算。由于定理和公式的实质，也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的联系，对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。因此在定理和公式的教学中，也可利用变式，展现相关定理和公式之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断，运用。

通过变式训练，是要防止形式地、机械地背诵、套用公式和定理提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。

三、在解题教学中，利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。

（一）多题一解，适当变式，.培养学生求同存异的思维能力。

许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。

（二）一题多解，触类旁通，培养学生发散思维能力，培养学生思维的灵活性。

一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。

（三）一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性。

通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。

伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能。

譬如书本上有这样一道题，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。教师可以不失时机地进行变式，调动起学生的思维兴趣。变式（1）顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形？变式（2）顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形？变式（3）顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形？做完这四个练习，教师还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征。

又如应用题教学是初中教学中的一个难点，在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生，把学生的思维逐步引向深刻。

例如在讲解一元一次方程的实践和探究这节课时，教师从奥运冠军孟关良训练为题材编了一题关于追及问题的应用题，一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？然后教师可对本例作以下变式。

变式1：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？（从先行20米改为先行了20秒）

变式2：我们学校有一块300米的跑道在比赛跑步时经常会涉及到相遇问题和追及问题

现有甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他们两人同地出发

（1）两人同时相向而行经过几秒两人相遇。

（2）两人同时同向而行经过几秒两第一次相遇。

（3）乙先出发5秒，然后甲开始出发，问甲经过几秒两人第一次相遇。

这题该为平时学生熟悉的操场环形跑道，这里三题也是一组变式题，（1）、（2）是同时同地出发的相遇和追及问题，（3）是不同时出发相遇和追及问题，这题还蕴涵着分类讨论的思想。

变式3：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教练要求他用45秒追上快艇，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他以每秒6米的速度划行，划了5秒后他发现用这样的速度不能在规定的时间内追上，请问他的想法用45秒不能追上快艇对不对？如果他要追上请你算一算孟关良后来要用多少速度才能在规定的时间内追上快艇？

这样的变式覆盖了同时出发相遇问题、不同时出发相遇问题、同时出发和不同时出发的追及问题等行程问题的基本类型。这样通过一个题的练习既解决了一类问题，又归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而不能自拔。

（三）一题多问，通过变式引申发展，扩充、发展原有功能，培养学生的创新意识和探究、概括能力。

牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。

教学中要特别重视对课本例题和习题的“改装”或引申。数学的思想方法都隐藏在课本例题或习题中，我们在教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于知识的建构。

总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出“源于课本，高于课本”，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会“变题”，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。

二、孩子数学好要怎么训练

怎样让孩子学好数学的四个诀窍，非常实用

要让孩子、学生学好数学，请您记住这四句顺口溜：调动兴趣是关键，数学基础要打牢，思维训练要做好，习惯、坚持很重要。

第一部分：调动兴趣是关键

因为我喜欢数学，所以我愿意去学它，所以我在学习过程中遇到任何艰难险阻也愿意去克服；克服困难所得来的成功体验又增强了我学习的兴趣和信心，所以我更喜欢学数学了。

一个很简单的正循环摆在我们面前，所以说，学好数学，调动孩子的兴趣是关键。调动兴趣的方法有：

1.亲其师，信其道。

这是亘古不变的真理。不管是老师还是家长，怎样才能做到这一点？

1）展示能力，让孩子佩服。比如可以在孩子面前秀自己知识渊博、计算和解题能力很强等，孩子们个个佩服地一塌糊涂。

校信通在做优秀大学生数学学习规律调查中也发现，很多学生喜欢某一个老师，甚至是因为老师随手就可以画出很标准的圆、椭圆。

2）展示人格魅力，让孩子敬服。

教育者人格中很突出的一点或几点魅力很容易感染到孩子，比如幽默、严谨等等。一般来说，一位老师要储备至少200—300条笑话，便于在课堂上让学生轻松快乐学习。也有很多孩子喜欢老师的理由是：“她认真负责到家了，天天都有新花样，辩论会什么的，干啥啥行！”

3）用心关爱孩子。

如果想让所有孩子都喜欢您，那就平等对待他们吧！课堂上，如果有成绩不好的学生举手发言，明知他会回答地一塌糊涂，也要鼓励和支持他。

如果您想改变某个孩子的话，那就去“偏爱”他吧！“我喜欢这位老师，是因为她待我象待自己的妹妹一样。”“有一次我数学考砸了，老师在我的作业本里夹了一张纸条，问我是不是有什么心事？我感动极了！”

当然，家长也要积极引导孩子喜欢老师。比如通过和孩子讨论老师的授课方式、性格特点等，引导孩子关注老师的闪光点，发现老师值得自己学习的思考方法、习惯和品质等。

2.化抽象为生动。

比如在讲例题的时候，结合题目给学生讲一些顺口溜、数学故事、数学发展史、生活中的数学等。让学生感到数学就在身边。比如华罗庚的数形结合顺口溜“数与形，本相依，焉能分作两边飞。数缺形时，难直觉；形缺数时，难入微。代数几何本一体，永远联系莫分离。”生活中的数学包括身边的事、新闻时事等，比如：让学生适度参与现在很多父母都热衷的股票问题；自己家里每月消费多少米，多少油，多少盐等，人均消费多少；今年淮河流域出现洪灾，泄洪时就需要考虑上游水位和下游河道宽的关系等等。

此外，还可以利用游戏和活动情景激发学生的学习兴趣。比如《日历中的方程》、数学专题黑板报等。

3.化抽象为形象。

现在的学生大都对电脑感兴趣，如果从这一点入手引导学生学数学，是个很好的办法。郑州一所重点中学的刘老师用几何画板让学生形象直观的体会数学知识，学生在学几何画板的同时，学数学的积极性也被调动起来了。

4.成功体验的积累。

兴趣与成就感往往有很大关系。每个孩子都有想成为研究者、发现者的内在愿望，都有被认同和赏识的需要，都希望取得成就和进步。教育者应该善于发现学生的一点点进步，给不同学生提不同的要求，让他们有机会成功，体会成功时的成就感。

具体做法有：给孩子讲题时不要一下子把思路都讲完，要以提问的方式引导孩子独立思考，或讲一半，留一半让孩子自己思考。如果孩子没有能力思考下一半，至少要让孩子独立思考到下一步。当然，家长还要适时给予言语鼓励，一方面增强孩子的自信心，并让孩子体会独立解决问题的成功感，另一方面，家长也会在鼓励孩子的过程中改进对孩子的认识，培养孩子对同一问题深刻思考的能力和习惯。

小贴士：成功记录本

也可以鼓励孩子专门准备一个笔记本，写自己的成功记录。错题本很重要，但只有错题本，孩子就只能多关注自己的失败经验，用成功记录本记录自己做出某一道对自己来说比较难的题目的过程，记录下今天对比昨天的点滴进步，增强成就感，增加学习兴趣。

5.营造学数学的环境。

比如家里的书架上可以放一些数学相关的书籍如《速算秘诀》《中学生数理化》《好玩的数学系列》《训练思考能力的数学书》《故事中的数学》等，并推荐孩子阅读。学校里也可以营造这样的氛围。有位老师说：“我每天课间时间都会坐在教室门口，拿起一本书来看。总会有几个学生来问我看的是什么书，一问一答之间他们就对我手里的书感兴趣了。几天后我就会发现，有一两个学生带头借了这本书。再过一阵子，这本书就风靡全班了。”

第二部分：数学基础要打牢

没有牢固的地基，哪来的高楼大厦？有很多孩子看似粗心而做错的题目，经仔细分析都是由于基础知识不牢固所造成的。比如有的孩子会说：“我就是分不清这两个公式了，考试时用错了。”其实如果这个孩子不仅仅是记住公式，而是会推导的话，考场上现场推导也是可以避免这个问题的。另一方面，孩子有必要掌握、识记一些最基本的知识，也可以说是最基本的工具，比如30以内的自然数的平方，1-9的立方分别是多少等。

打牢基础也可以通过做题来实现，这跟题海战术不同，有的学生可能做两道题就弄懂了，那他就不需要再做，有的学生可能需要做20道题，总之，为了达到最好的理解和记忆效果，让学生自己理解知识点之后，再多做1-2道题，达到150%的理解和记忆效果。

打好基础的五步学习法：

A.做好课前预习，掌握听课主动权。凡事预则立，不预则废。

B.专心听讲，做好课堂笔记。听课要提前进入状态。课前准备的好坏，直接影响听课的效果。

C.及时复习，把知识转化为技能。复习是学习过程的重要环节。复习要有计划，既要及时复习当天功课，又要及时进行阶段复习。即将上周，上月，本学期所学内容复习、思考、归纳总结。最好能够利用寒暑假将上学年或本学段以往的内容全部复习巩固。在现阶段的学习中涉及以往不十分清楚的内容，最好及时查阅核实。对数学成绩不是特别突出的学生，一般缺乏学好数学的信心，如果这样坚持2到3年，可以逐步在日常作业和课堂表现中，表现突出，学好数学的自信就逐步树立起来，数学成绩自然会好起来。

D.认真完成作业，形成技能技巧，提高分析解决问题的能力。教育权威杨乐院士在回答中学生如何学好数学的问题时，就是很简短的三句话：一是在理解的基础上多实践，二是在理解的基础上多积累，三是循序渐进。这里所说的实践，就是做题，就是完成作业。这里所说的实践，一方面是做题，完成作业并对错题进一步反思，彻底思考清楚，找同类题做3到5题，达到彻底掌握和巩固提高，另一方面，结合自己的生活体验，用所学知识分析、解释生活中的一些问题。

E.及时进行小结，把所学知识条理化、系统化。学完一个课题或是一个章节，就要及时进行小结。每一环节的落实程度如何，都直接关系到下一环节的进展和效果。一定要先预习后听讲，先复习后作业，经常进行阶段小结。

每天放学回家，应该先复习当天功课，次完成当天作业，后预习第二天功课。这三件事，一件也不能少，否则就不能保证第二天有高质量的听课效果。

掌握以上学习方法，可以培养孩子学习数学的基本能力和习惯，如数学思维能力、口算能力等。现在很多学生做不到这几点。如果每一位学生都能在晚上回家后，睡觉前，脑子里过一遍电影，今天我都学了什么？复习时也采用这种方法，回想一门课有多少章节？每小节有多少知识点？每个知识点有什么例题？学起来就很系统、很有效。

小贴士1：巧用错题本

引导孩子认真对待老师的小节和讲解的习题，尤其是自己做错的习题，必须反复思考，并另外找同类体再做3到5题，以达到对没有很好掌握的知识的充分理解和掌握，做好能够思考老师将的解题思路和方法自己为什么没有想到，今后如何才可以想到，考虑此类问题常用什么方法。

另外，经常借阅同学们的错题本，也很有必要。借阅时注意：

第一，借阅比自己水平高的同学的错题本，这样便于丰富、拓宽自己的知识领域。

第二，看比自己水平较低的同学的错题本，便于经常给自己敲响警钟。

借阅同时,要做好自己的读书笔记,便于自己平时参阅。在开始阶段至少一周要有两次重现阅读，过两周后可一周，这样循序渐进。此方法可运用于其他各个学科。

小贴士2：打破沙锅与温故知新的执着

有很多孩子有这样的习惯，如果某个知识点或某道题难住了自己，就把它搁置了，慢慢地，搁置的问题越来越多，就积重难返了。所以，不会的问题如果能当即解决最好，如果条件不允许，那一定要记下来，以后务必解决。解决的方法可以有查资料、请教他人等等。

另一方面，对已经解决的问题和一些重要知识点也要定期复习，复习时一定要思考：按照现在所掌握的知识和技能来看，这道题有没有更好的方法？做到常做常新。

第三部分：思维训练要做好

1.一题多解，锻炼孩子的变式思维

培养学生的变式思维，就要让学生敢于创新、习惯创新。老师可以在讲课过程中故意出错，让学生来思考、矫正，这样上课时学生就不会处于被动接受的状态，而始终处于主动思考的状态：老师讲得对不对？还有没有其他方法？此外，老师还可以采用以下方法：一节课只讲一道题，一题多解，方法越来越好；一道题今天讲，明天再讲，常讲常新。一方面，让学生充分感受到数学的乐趣，另一方面可以培养学生变式思维的意识和能力，这种意识和能力对孩子将来的人生发展都大有裨益。

变式思维中，对称思想是很重要的一种。对称思想往往可以解决很多问题。举个现实生活中的例子来说，日本一个生产味精的企业有段时间利润一直上不去，就召开了一个公司内部的研讨会。会上大家拿出了很多方法，比如降低成本等等，但因效果不明显，都没有被采用。后来进行消费者调研时，有个家庭主妇说，味精都是瓶装的，上面有很多小眼儿，可以增大小眼儿，这样做饭时大家就用得多了，用得多了，销售量就上去了。这条建议被采纳并且实施，果然效果很好。其实员工是从生产的源头来考虑问题，而家庭主妇是从消费一方来考虑问题，这就是思维的对称性。

学数学的过程中，一道题从已知走向结果、从结果走向已知也都体现了思维的对称性。有道很经典的题目：1/2+1/4+1/8+…+1/256。可以从前往后算，1/2+1/4=3/4，3/4+1/8=7/8……，发现规律后就会知道，最后答案等于255/256，也可以在式子最后加一个1/256（这也是构造思想的体现），从后往前算，得出得数1，然后再减去多余的1/256。这都是思维对称性的体现。

2.一解多题，锻炼归纳思维

每个学段所用到的数学方法其实就几种。可以经常采用一解多题的方法来指导学生弄通某一种数学方法，比如这节课就只讲方程思想，下节课讲另一个专题。

3.用发展的眼光给学生讲题

也就是说，要用发展的眼光给学生讲题，还是这道老题：1/2+1/4+1/8+…+1/256。可以鼓励学生用通分的方法来做，在做的过程中，延伸到等差、等比数列等高中才学到的知识点。孩子以后会学得轻松。

4.互相讲解，碰撞思维的火花

有个学生说：“我的数学学习成绩是讲题讲出来的。因为我有耐心、脾气好，所以很多同学都会向我讨教问题，讲解的过程中，我逐渐发现，自己的知识巩固了，思维能力提高了。”另外，与水平相近或比自己水平稍高的同学争论自己掌握的或未掌握的知识也是非常重要的，也往往会达到事半功倍的效果，甚至通过争论而学到的知识理解深刻，终身难忘。

第四部分：习惯、坚持很重要

好习惯成就人生，数学学习也是如此，上面所说的五步学习法也是一种很好的学习习惯，除此以外，孩子还需要养成如下学习习惯：

认真审题。有数学名师如是说：一道题的深度是有限的，你想得多，你写得就少，就快；你想得少，你就写得多而繁杂。匆匆读完题就开始做很容易出错，建议学生最好在平时就养成做题之前认真读题的习惯，如果学生比较马虎，可以建议他认真读三遍，思考一下已知条件和思路，再做题。练习次数多了，就慢慢养成认真审题的习惯了。

认真检查。这也是很多老师嘱咐学生的方法，做完题后先大致看一下，这个结果是否符合常规（主要是生活经验和常识），如果时间宽裕，可以用不同方法验算一下，看看结果是否正确。如果时间有限，就按照原有思路进行检查。当然，一道题的每一个小小的计算步骤也可以通过正着算、倒着算的方法检查。

有问题，必解决。遇到问题和困惑，就一定要想办法通过查资料等方式解决，这是学任何一门课程，乃至成就整个人生都需要具备的习惯。

小贴士：认真对待草稿纸

有位学生向我们讲述了他的经验：“我考试因为马虎出错的很少很少，因为我养成了认真对待草稿纸的习惯。我演算的时候写的字都是很工整认真的，工整的字无形中给了我更加认真细心的态度；而且我还把稿纸划了片，这一片写这部分题目的演算过程，那一片写那部分题目的，这样演算时、检查时都不会出错。”

三、如何在变式教学中培养学生的数学思维能力

数学思维是人脑与数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动.在公式、定理、性质的教学过程中，教师精心编制一系列由简单到复杂的变式训练题，组织学生进行尝试练习，引导学生参与知识的发现、探索、推导过程，可以提高思维的探究水平，更可以掌握具有广泛性的思维方法.

一、问题提出的背景

学生数学学习的认知水平一般分为三个层次：记忆模仿型、说明性理解型与探究性理解型.为了培养与提高学生的数学思维能力，引导学生向探究性理解型发展，教师在课堂教学中，要敢于和善于给学生提供一定的独立思考、发现问题的条件和机会.适当地进行变式训练、一题多解、一法多用，可以让学生形成富于联想的思维习惯.数学公式作为解题的工具，深刻理解并准确掌握数学公式是学好数学的第一关.数学公式应用广泛，推导方法具有代表性，所以人们把它比喻为“数量关系的精髓”.在一般的数学教学中，我们通常是推导公式，首先教师讲解例题进行示范，然后学生模仿反复练习.一两堂课下来，学生对数学课的印象就是推导公式、代公式解题，纯粹把数学课看成做题目的枯燥无味的课，长此以往，对数学课就越来越没兴趣.如何提高学生学习数学的兴趣，让学生真正地参与课堂，在实践中培养学生的数学思维，是数学老师一直思考的问题.

二、案例再现

以五年制高等师范数学教材中的“二倍角的三角函数”这节内容为例，老师在引导学生推导出公式后，对公式进行变形研究，使学生能够找到它的一些其他形式并进行相应的应用.这样既能深刻理解公式，又可灵活应用于解题，课堂气氛热烈，学生学习积极性高.

公式的导出部分老师让学生利用学过的正弦、余弦和正切的和角公式，化归为二倍角公式，让学生理解“二倍角”与“两角和”的内在联系.

在公式的运用应用部分，老师是这样设计的：

提问：二倍角公式结构特征有哪些？

师生互动：教师在黑板上板书且同时启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比，学生思考并回答问题以达到熟练公式结构的目的.学生通过观察比较，能很快地归纳出二倍角公式的结构特征.为了能很好地巩固和理解公式中“二倍角”含义，也为下面灵活应用公式化解和求值做准备，教师设置了以下练习：梯度一（让学生理解倍角的相对性）

在以上问题中主要突出的是倍角的相对性，以及公式左右两边的角的变化.为了进一步巩固所学公式与更深入熟练地掌握公式变形，特意由浅入深设计以下课堂练习以达到相关目的.学生对比二倍角公式的形式特点，基本能准确地填出结论，并且在给出结论的同时也真正理解了“二倍”的含义.二倍角的正弦公式、余弦公式是三角恒等变换中的重要公式，在理解和掌握公式的基础上，若能对公式作一些变形，并在解题中予以灵活运用，则可激活思维，化繁为简，使得解题过程更加简洁明快.教师在学生理解梯度一的基础上，再设计了以下两组变式训练：梯度二：（熟练公式结构并会用公式的逆用）

经过三个梯度的训练，学生对公式的结构与公式的应用达到基本熟练之后，下一步就可以提供机会让学生利用倍角公式进行求值运算、以培养学生运算、分析和逻辑推理能力，可以很好地完成本节课的教学目标之一与难点之一.

三、案例教学反思

上课班级的学生基础相对较好，特别是男生，如果纯粹是讲公式后让学生模仿做题目，学生没有独立思考的机会，没有亲自体验公式和概念的形成过程，只能是做题目的机器，对知识一知半解，更不用说学以致用了.学生也会觉得没有挑战性，从而对数学学习缺乏积极性.学生只有在亲自实践中才能获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力.老师在教学中对二倍角公式的深化变式，让学生积极思维，既提高了学习的积极性，又加强了对公式的理解和应用.

数学的公式有很多的变式，这些变式为学生提供了广阔的天地，同时在公式的变式过程中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，从而有利于学生更深刻地理解数学公式的本质.通过探求公式的变式的应用，可以培养学生直觉思维、快速解题的能力，有利于培养学生的逆向思维、发散思维等，形成良好的思维品质.

（一）公式的变式应用可以培养学生简单的直觉思维能力和解题能力

直觉思维是导致数学发现的关键，教师在教学中，鼓励学生猜想，形成朦胧的直觉.让学生猜想，不仅激发了他们努力解题，还教会了他们一种应用的思维方式.二倍角公式的熟练应用对于学习三角函数的性质起着很重要的作用.如学习y=sin2x的图像及性质.再如梯度三中的练习sinπ16cosπ16cosπ8，学生看到相同的角，会联想到正弦的二倍角公式，猜想填个系数即可，学生在掌握了二倍角公式的逆向变形特点后，就能很快的与公式进行对比，从而找到系数上的差别，并相应的进行增添，就可以很方便得出答案.（sinα-cosα）2和cos4β-sin4β的解题学生根据做题目的直觉经验，自然会想到先用完全平方和平方差公式展开求解，教师再有意识地引导他们向纵深方向考虑，帮助理清来龙去脉，总结出方法和结论，学生的解题能力也会逐步提高.在教学过程中，有时设置一些顺理成章的“陷阱”也是有益的，可以引导学生积极思维，在猜想、探究、修改的过程中加深对知识的理解和掌握.

（二）公式的变式应用可以培养学生的逆向思维能力

人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法.其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化.数学教学中可表现为某些数学公式、法则等逆用来解决有关问题.如二倍角这节课中，很多学生对于数学课本中的公式很熟练，但对它们的逆向运用却往往忽视.因此，老师在二倍角公式教学中，贯穿双向思维训练，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还注意引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展.如梯度一和梯度二的设计，这样正向和逆向叙述相结合，使学生对公式的理解更加深刻，知识掌握得更加灵活，对数学思维的训练也起着重要的作用.

（三）公式的变式应用可以培养学生的发散思维能力

赞可夫说过：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的”.在课堂教学中应该适当给学生提供独立思考问题、自己提问题的条件与机会为发散思维的培养创造良好的内、外部的环境.老师在教学过程给出（sinα-cosα）2和cos4β-sin4β题目给出后，没有直接板书讲解，而是让学生讨论，给学生提供探索尝试的机会.学生们跃跃欲试，积极动脑，一部分学生能自己利用二倍角公式和平方公式推算出结论，运用已学知识去解决新问题，并进行多种尝试，学生的解题思维得到拓展，学习积极性提高.如果老师怕学生在课堂上听不懂、吃不饱，总是在课堂上讲个不停，即使提出问题也是匆匆而过，学生没有进行充分思考问题的时间，这样培养的学生也不可能具有探究性思考的习惯与能力，当然谈不上培养发散思维了.

数学教学就是数学思维活动的教学.因此，在数学教学中展现思维活动，教师在课堂教学中应该精心设计，给学生充分思考问题的机会和时间，让学生亲自参与思维活动，不仅体现了这种教学思想，而且有利于提高学生的思维的探究水平，从而提高学生学习数学的兴趣.